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積分　xlogx

${\displaystyle {\int }_{}^{}xlogxdx}$

${\displaystyle logx}$ を${\displaystyle logx=t}$  とおいて置換積分を行う．

${\displaystyle x=e^t\to \frac{dx}{dt}=e^t\to dx=e^{t}dt}$

与式${\displaystyle =\int e^{t}t{e}^{t}dt=\int t{e}^{2t}dt}$

${\displaystyle t{e}^{2t}}$ はt と${\displaystyle e^{2t}}$ の積で，t を微分すると1となる．  ⇒ 部分積分をするとよい．

${\displaystyle f\left(t\right)=t}$ ，${\displaystyle g^{\prime }\left(t\right)=e^{2t}}$ とした部分積分を行う．

${\displaystyle \int t{e}^{2t}dt}$${\displaystyle =t\left(\frac{1}{2}{e}^{2t}\right)-\int 1\mathrm{·}\left(\frac{1}{2}{e}^{2t}\right)dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}t{e}^{2t}-\frac{1}{4}{e}^{2t}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}(logx)\mathrm{·}{x}^2-\frac{1}{4}{x}^2+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{x}^2(2logx-1)+C}$　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■別解

${\displaystyle \int xlogxdx=\int {\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }logxdx}$

と考えて部分積分を行なう．

${\displaystyle \int {\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }logxdx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\int \frac{1}{2}{x}^2{\left(logx\right)}^{\prime }dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\int \frac{1}{2}{x}^2·\frac{1}{x}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\int \frac{1}{2}xdx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^{2}logx-\frac{1}{4}{x}^2+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{x}^2\left(2logx-1\right)+C}$　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

 

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最終更新日 2023年10月4日

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