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積分 √(a^2-x^2)

a 2 - x 2 dx     ( a>0 )

部分積分法より. f ( x )=1,g( x )= a 2 - x 2 とおく.

= 1 a 2 - x 2 dx

=x a 2 - x 2 - x 2 a 2 - x 2 dx

=x a 2 - x 2 a 2 - x 2 a 2 a 2 - x 2 dx

=x a 2 - x 2 a 2 - x 2 dx + a 2 a 2 - x 2 dx

=x a 2 x 2 a 2 x 2 dx + a 2 sin 1 x a

a 2 a 2 - x 2 dx  の積分はここを参照のこと

改めて書き直すと

a 2 x 2 dx =x a 2 x 2 a 2 x 2 dx + a 2 sin 1 x a  ・・・・・・(1)

(1)を a 2 - x 2 dx  についてとく.

2 a 2 x 2 dx =x a 2 x 2 + a 2 sin 1 x a

a 2 x 2 dx = 1 2 ( x a 2 x 2 + a 2 sin 1 x a )

積分定数を付け加えると

a 2 x 2 dx = 1 2 ( x a 2 x 2 + a 2 sin 1 x a )+C  

■置換積分による解法

x=asinθ      ( π 2 <θ< π 2 )  とおくと

dx dθ =acosθdx=acosθ

となる.よって

与式 = a 2 - ( asinθ ) 2 a cos θ dθ

= a 2 ( 1-sin θ 2 ) a cos θ dθ

= a 2 cos 2 θ a cos θ dθ

π 2 <θ< π 2  では cosθ0  より, a 2 cos 2 θ = a cosθ

よって

= a cosθ a cos θ dθ

= a 2 cos 2 θ dθ

= a 2 cos 2 θ dθ

= a 2 ( 1 2 θ+ 1 4 sin2θ )+C

= a 2 ( 1 2 θ+ 1 2 sinθcosθ )+C

cos 2 θ dθ  の積分はここを参照のこと

sinθ= x a cosθ= 1 ( x a ) 2 , θ= sin 1 x a  より,変数をθ  から x  に戻すと

与式 = a 2 ( 1 2 sin 1 x a + 1 2 x a 1 ( x a ) 2 )+C

= 1 2 ( x a 2 x 2 + a 2 sin 1 x a )+C

 

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最終更新日: 2023年10月4日

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