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応用分野: 積分の計算手順知っていると便利な積分の公式

高次の三角関数の積分(2)

f( cosx )sinxdx= f( t ) dt  ・・・(1)

■導出

cos x = t とおく置換積分を行う.

f( cosx )=f( t )

cosx=t とおいたとき,この式を微分すると,

dt dx =sinxdt=sinxdx

従って, f( sinx )cosx の置換積分は,

f( cosx )sinxdx= f( t ) dt

となり,(1)式が導出される.

この方法は積分される関数(被積分関数)が, cosx の関数 f( cosx ) sinx の積である場合に適用できる.

■具体例

f( x )= cos 3 xsinx  ・・・(2)

という関数の積分を例に考える.ここで, cosx=t とおき,これを微分する.

dt dx =sinxdt=sinxdx

これらを用いて(2)式を置換積分すると,

cos 3 xsinxdx t 3 dt

t 3 d t = 1 4 t 4 + C = 1 4 cos 4 x + C

他にも応用例があり,以下参照

sin 3 xdx   ここの置換積分で解く方法を参照

1 sinx dx       ここを参照

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2018年3月14日

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