重積分の変数変換座標平面における1次変換

$x, y$ の微小変化 $d x, d y$ を求める式

$d x = φ_{u} d u + φ_{v} d v$ 　･･････(1)

$d y = ψ_{u} d u + ψ_{v} d v$ 　･･････(2)

は定数項を含まない1次式の組であるから， $u v$ 平面から $x y$ 平面への1次変換と考えられる．ここで，簡単のため $u v$ 平面内の長方形の微小面積 $d S_{u v}$ の左下をを原点に移して考えると，各頂点の座標は

$(0, 0)$ ， $(d u, 0)$ ， $(0, d v)$ ， $(d u, d v)$

となる．(1)，(2)の関係から

$(0, 0)$ の変換

$φ_{u} \cdot 0 + φ_{v} \cdot 0 = 0$

$ψ_{u} \cdot 0 + ψ_{v} \cdot 0 = 0$

よって， $x y$ 平面上の点 $(0, 0)$ に移る．

$φ_{u} \cdot d u + φ_{v} \cdot 0 = φ_{u} d u$

$ψ_{u} \cdot d u + ψ_{v} \cdot 0 = ψ_{u} d u$

よって， $x y$ 平面上の点 $(φ_{u} d u, ψ_{u} d u)$ に移る．

$φ_{u} \cdot 0 + φ_{v} \cdot d v = φ_{v} d v$

$ψ_{u} \cdot 0 + ψ_{v} \cdot d v = ψ_{v} d v$

よって， $x y$ 平面上の点 $(φ_{v} d v, ψ_{v} d v)$ に移る．

$φ_{u} \cdot d u + φ_{v} \cdot d v = φ_{u} d u + φ_{v} d v$

$ψ_{u} \cdot d u + ψ_{v} \cdot d v = ψ_{u} d u + ψ_{v} d v$

よって， $x y$ 平面上の点 $(φ_{u} d u + φ_{v} d v, ψ_{u} d u + ψ_{v} d v)$ に移る．

以上より， $u v$ 平面上の各頂点

$(0, 0)$ ， $(d u, 0), (0, d v)$ ， $(d u, d v)$

は，(1)，(2)による1次変換によって $x y$ 平面上の点

$(0, 0)$ ， $(ϕ_{u} d u, ψ_{u} d u)$ ， $(ϕ_{v} d v, ψ_{v} d v)$ ， $(ϕ_{u} d u + ϕ_{v} d v, ψ_{u} d u + ψ_{v} d v)$

に移り，長方形から平行四辺形へと変化する．

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年12月14日