指数関数の一般形

指数関数 $y = a^{x}$ のグラフを原点を中心に $x$ 軸方向，および， $x$ 方向に拡大した後，平行移動したグラフを表す関数は、一般的に

$y = β \cdot α^{x} + γ$ 　･･････(1)

ただし， $α > 0$ ， $α \neq 1$ であるとする．

と表すことができる．(１)のことをKIT数学ナビゲーションでは，指数関数の一般形ということにする．

■解説

$y = a^{x}$ のグラフを，原点を中心に $x$ 軸方向に $u$ ， $x$ 方向に $v$ 拡大した後， $x$ 軸方向に $p$ ， $y$ 方向に $q$ 平行移動したグラフを表す関数は

$\frac{y - q}{v} = a^{\frac{x - p}{u}}$ 　･･････(2)

となる．この式に関しては，グラフの拡大→グラフの平行移動した関数を参考にするとよい．

(2)を以下のように式変形をする．

$\frac{y - q}{v} = {(a^{\frac{1}{u}})}^{x - p}$ 　（∵ ${(a^{r})}^{s} = a^{r s}$ 詳しくはここを参照）

$\frac{y - q}{v} = {(a^{\frac{1}{u}})}^{- p} {(a^{\frac{1}{u}})}^{x}$ 　（∵ $a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}$ 詳しくはここを参照）

$y - q = v {(a^{\frac{1}{u}})}^{- p} {(a^{\frac{1}{u}})}^{x}$

$y = v {(a^{\frac{1}{u}})}^{- p} {(a^{\frac{1}{u}})}^{x} + q$

$a^{\frac{1}{u}} = α$ ， $v {(a^{\frac{1}{u}})}^{- p} = β$ ， $q = γ$ とおくと

$y = β \cdot α^{x} + γ$

となり，(1)が得られる．

$y = α^{x}$ のグラフの漸近線は $x$ 軸である．よって， $y = β \cdot α^{x}$ のグラフの漸近線も $x$ 軸である．

$y = β \cdot α^{x} + γ$ のグラフは $y = β \cdot α^{x}$ のグラフを $y$ 方向に $γ$ 平行移動したものになる．

よって， $y = β \cdot α^{x} + γ$ のグラフの漸近線は

直線 $y = γ$

となる．

今度は，極限を使った方法で $y = β \cdot α^{x} + γ$ のグラフの漸近線を求めてみる．

$α > 1$ のとき

$\lim_{x \to - \infty} (β \cdot α^{x} + γ)$ $= β (\lim_{x \to - \infty} α^{x}) + γ$ $= β \cdot 0 + γ = γ$

$0 < α < 1$ のとき

$\lim_{x \to \infty} (β \cdot α^{x} + γ)$ $= β (\lim_{x \to \infty} α^{x}) + γ$ $= β \cdot 0 + γ = γ$

$α > 1$ ， $0 < α < 1$ のいずれの場合も，直線 $y = γ$ が $y = β \cdot α^{x} + γ$ のグラフの漸近線となる．

最終更新日： 2024年2月8日