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対数関数の一般形

対数関数 y= log a x のグラフを原点を中心に x 軸方向,および, x 方向に拡大した後,平行移動したグラフを表す関数は、一般的に

y= log α x+β +γ  ・・・・・・(1)

ただし, α>0 α1 であるとする.

と表すことができる.(1)のことをKIT数学ナビゲーションでは,対数関数の一般形ということにする.

■解説

y= log a x のグラフを,原点を中心に x 軸方向に ux 方向にv 拡大した後, x 軸方向に py 方向に q 平行移動したグラフを表す関数は

yq v = log a xp u  ・・・・・・(2)

となる.この式に関しては,グラフの拡大→グラフの平行移動した関数を参考にするとよい.

(2)を以下のように式変形をする.

yq v = log a xp log a u  (∵ log a R S = log a R log a S  詳しくはここを参照)

yq=v log a xp v log a u

yq= log a xp 1 v v log a u

y= log a xp log a a 1 v v log a u+q  (∵ log a R t = t log a R  詳しくはここを参照)

y= log a 1 v xp v log a u+q  (∵ log a R = log b R log b a  詳しくはここを参照)

a 1 v =α p=β v log a u+q=γ とおくと

y= log α x+β +γ

となり,(1)が得られる.

y= log α x のグラフの漸近線 は y軸である.

y= log α x+β +γ のグラフは y= log α x のグラフを y 方向に β y 方向に γ 平行移動したものになる.

よって, y= log α x+β +γ のグラフの漸近線

直線 x=β

となる.

今度は,極限を使った方法で y= log α x+β +γ のグラフの漸近線を求めてみる.

α > 1 のとき

lim xβ+0 log α x+β +γ = lim xβ+0 log α x+β +γ =+γ=

0<α<1 のとき

lim xβ+0 log α x+β +γ = lim xβ+0 log α x+β +γ =+γ=

α > 1 0<α<1 のいずれの場合も,直線 x=β y= log α x+β +γ のグラフの漸近線となる.

 

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最終更新日: 2024年2月29日

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