log( 1+x )=x− 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − 1 4 x 4 +⋯
f( x )=log( 1+x ) とおく． f( 0 )=log1=0
f ' ( x )= 1 1+x ( 1+x ) ' = 1 1+x ⋅1 = ( 1+x ) −1 f ' ( 0 )=1
f '' ( x )=( −1 ) ( 1+x ) −2 ( 1+x ) ' =( −1 ) ( 1+x ) −2 ⋅1 =− ( 1+x ) −2 f '' ( 0 )=−1
f ''' ( x )=( −2 )( −1 ) ( 1+x ) −3 ( 1+x ) ' =2! ( 1+x ) −3 f ''' ( 0 )=2!
f ( 4 ) ( x )=( −3 )( 2! ) ( 1+x ) −4 ( 1+x ) ' =−3! ( 1+x ) −4 f ( 4 ) ( 0 )=−3!
f 5 x =− −4 3! 1+x −5 1+x ' =4! 1+x −5 f ( 5 ) ( 0 )=4!
したがって，マクローリン展開の公式
f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 +⋯⋯ + f ( n ) ( 0 ) n! x n +⋯⋯
に代入して
log 1+x =0+1⋅x+ −1 2! x 2 + 2! 3! x 3 + −3! 4! x 4 +⋯
=x− 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − 1 4 x 4 +⋯
a n = ( −1 ) n−1 ( n−1 )! n! ， a n+1 = ( −1 ) n n! ( n+1 )!
lim n→∞ | a n+1 a n | = lim n→∞ | ( −1 ) n n! ( n+1 )! ( −1 ) n−1 ( n−1 )! n! | = lim n→∞ | ( −1 ) n ( −1 ) n−1 ⋅ n! ( n+1 )! ⋅ n! ( n−1 )! | = lim n→∞ | − n n+1 | = lim n→∞ | − 1 1+ 1 n | =1
よって，収束半径 R は
R= 1 1 =1
となる．
x の値が収束半径と等しいとき，
x− 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − 1 4 x 4 +⋯⋯
の収束性について検討する．
x=1 のとき
1 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 +⋯⋯ =( 1 1 − 1 2 )+( 1 3 − 1 4 )+( 1 5 − 1 6 )+⋯⋯ = 2−1 1⋅2 + 4−3 3⋅4 + 6−5 5⋅6 +⋯⋯ = 1 1⋅2 + 1 3⋅4 + 1 5⋅6 +⋯⋯ = lim n→∞ ∑ k=1 n 1 ( 2k−1 )2k < lim n→∞ ∑ k=1 n 1 ( 2k−1 ) 2 ( ∵ 1 ( 2k−1 )2k < 1 ( 2k−1 ) 2 ) <1+ lim n→∞ ∫ 1 n 1 ( 2x−1 ) 2 dx =1+ lim n→∞ [ − 1 2x−1 ] 1 n =1+ lim n→∞ ( − 1 2n−1 +1 ) =2
となり，収束する．
x = − 1 のとき
− 1 1 − 1 2 − 1 3 −− 1 4 −⋯⋯ = lim n→∞ ∑ k=1 n ( − 1 k ) > lim n→∞ ∫ 0 n ( − 1 x+1 )dx = lim n→∞ [ −log( x+1 ) ] 0 n = lim n→∞ [ −log( n+1 )−log1 ] = lim n→∞ { −log( n+1 ) } =−∞
となり，発散する．以上より，
が収束する x の範囲は
−1<x≤1
ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>マクローリン展開>> log( 1+x ) のマクローリン展開
最終更新日： 2022年7月19日
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