Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください．
応用分野： マクローリン展開，

log(1+x) のマクローリン展開

log(1+x)=x−12x2+13x3−14x4+⋯  

■導出 

f(x)=log(1+x) とおく．　　f(0)=log1=0

f'(x)=11+x(1+x)'   =11+x⋅1   =(1+x)−1　　f'(0)=1

f''(x)=(−1)(1+x)−2(1+x)'   =(−1)(1+x)−2⋅1   =−(1+x)−2　　f''(0)=−1

f'''(x)=(−2)(−1)(1+x)−3(1+x)'   =2!(1+x)−3　　f'''(0)=2!

f(4)(x)=(−3)(2!)(1+x)−4(1+x)'   =−3!(1+x)−4　　f(4)(0)=−3!

f(5)(x)=−(−4)(3!)(1+x)−5(1+x)'   =4!(1+x)−5　　f(5)(0)=4!

したがって，マクローリン展開の公式

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x2+f'''(0)3!x3+⋯⋯+f(n)(0)n!xn+⋯⋯  

に代入して 

log(1+x)=0+1⋅x+(−1)2!x2+2!3!x3+−3!4!x4+⋯

=x−12x2+13x3−14x4+⋯

■収束半径 

an=(−1)n−1(n−1)!n!， an+1=(−1)nn!(n+1)!

limn→∞|an+1an| =limn→∞|(−1)nn!(n+1)!(−1)n−1(n−1)!n!| =limn→∞|(−1)n(−1)n−1⋅n!(n+1)!⋅n!(n−1)!| =limn→∞|−nn+1| =limn→∞|−11+1n| =1

よって，収束半径 R は

R=11=1

となる．

x の値が収束半径と等しいとき， 

x−12x2+13x3−14x4+⋯⋯  

の収束性について検討する． 

x=1のとき

1 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 +⋯⋯  =( 1 1 − 1 2 )+( 1 3 − 1 4 )+( 1 5 − 1 6 )+⋯⋯  = 2−1 1⋅2 + 4−3 3⋅4 + 6−5 5⋅6 +⋯⋯  = 1 1⋅2 + 1 3⋅4 + 1 5⋅6 +⋯⋯  = lim n→∞ ∑ k=1 n 1 ( 2k−1 )2k  < lim n→∞ ∑ k=1 n 1 ( 2k−1 ) 2 ( ∵ 1 ( 2k−1 )2k < 1 ( 2k−1 ) 2 )  <1+ lim n→∞ ∫ 1 n 1 ( 2x−1 ) 2 dx  =1+ lim n→∞ [ − 1 2x−1 ] 1 n  =1+ lim n→∞ ( − 1 2n−1 +1 )  =2

となり，収束する． 

x = − 1 のとき

− 1 1 − 1 2 − 1 3 −− 1 4 −⋯⋯  = lim n→∞ ∑ k=1 n ( − 1 k )  > lim n→∞ ∫ 0 n ( − 1 x+1 )dx  = lim n→∞ [ −log( x+1 ) ] 0 n  = lim n→∞ [ −log( n+1 )−log1 ]  = lim n→∞ { −log( n+1 ) }  =−∞

となり，発散する．以上より， 

x− 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − 1 4 x 4 +⋯⋯  

が収束する x の範囲は 

−1<x≤1  

となる． 

 

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>マクローリン展開>> log( 1+x ) のマクローリン展開

最終更新日： 2022年7月19日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)