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級数の収束性（２）

${\displaystyle a_n>0}$ である正項級数${\displaystyle \sum a_n}$において　

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=r}$  ･･････(1)

が存在するとき

• ${\displaystyle 0<r<1}$ ならば${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$は収束する
• ${\displaystyle r>1}$ ならば${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$は発散する

■証明

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=r}$ が存在する場合，ある${\displaystyle N}$ を越えると，すなわち${\displaystyle n>N}$ では

${\displaystyle r-\epsilon <\frac{a_{n+1}}{a_n}<r+\epsilon }$  ･･････(2) （${\displaystyle \epsilon }$ は正の任意定数）

が成り立つ．

${\displaystyle N}$ を用いると

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{n=1}^N{a}_n+\sum _{n=N+1}^{\infty }{a}_n}$ ･･････(3)

と書きかえられる．

${\displaystyle N}$はある自然数であるので

${\displaystyle \sum _{n=1}^N{a}_n=K}$ ･･････(4)

となる定数${\displaystyle K}$が存在する．

${\displaystyle a_{N+1}=a_N\cdot \frac{a_{N+1}}{a_N}}$

(${\displaystyle r-\epsilon <a_{N+1}<r+\epsilon }$)

${\displaystyle a_{N+2}=a_{N+1}\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}=a_N\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}}$

(${\displaystyle a_N{\left(r-\epsilon \right)}^2<a_{N+2}<a_N{\left(r+\epsilon \right)}^2}$)

                ${\displaystyle ⋮}$

${\displaystyle a_n=a_N\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdot \cdot \cdot \frac{a_n}{a_{n-1}}}$

(${\displaystyle a_N{\left(r-\epsilon \right)}^{n-N}<a_n<a_N{\left(r+\epsilon \right)}^{n+N}}$)

よって

${\displaystyle n-N=m}$ とおくと，${\displaystyle n=N+1}$ のとき${\displaystyle m=1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ のとき${\displaystyle m\to \infty }$

よって

となる．

 

${\displaystyle 0<r<1}$ のとき，${\displaystyle \epsilon }$は任意なので，${\displaystyle 0<r-\epsilon <r<r+\epsilon <1}$となる${\displaystyle \epsilon }$をとることができる．

よって(5)より

となり

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }{a}_n=L}$ ･･････(6)

となる定数${\displaystyle L}$ が存在する．

したがって（3)(4)(6)より${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ は収束する．

 

${\displaystyle 1<r}$ のとき，${\displaystyle \epsilon }$は任意なので${\displaystyle 1<r-\epsilon <r}$ となる${\displaystyle \epsilon }$をとることができる

${\displaystyle r-\epsilon >1}$ のとき${\displaystyle m\to \infty }$ならば，${\displaystyle {\left(r-\epsilon \right)}^m\to \infty }$ となるので

${\displaystyle \underset{m\to \infty }{lim}{a}_N\left(r-\epsilon \right)\frac{1-{\left(r-\epsilon \right)}^m}{1-\left(r-\epsilon \right)}=\infty }$

となり

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }{a}_n=\infty }$ ･･････(7)

となる．

したがって(3)(5)(7)より

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\infty }$

となり発散する．

　

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最終更新日： 2023年7月27日

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