級数の収束性（１）

$a_{n} > 0$ である正項級数 $\sum a_{n}$ において　

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = r$ ･･････(1)

が存在するとき

$r < 1$ ならば $\sum a_{n}$ は収束する
$r > 1$ ならば $\sum a_{n}$ は発散する

■証明

$lim \sqrt[n]{a_{n}} = r$ が存在する場合，ある $N$ を越えると，すなわち $n > N$ では

$r - ε < \sqrt[n]{a_{n}} < r + ε$ ･･････(2) （ $ε$ は正の任意定数）

が成り立つ．

$N$ を用いると

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} + \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n}$ ･･････(3)

と書きかえられる．

$N$ はある自然数であるので

$\sum_{n = 1}^{N} a_{n} = K$

となる定数 $K$ が存在する．

(2)より

${(r - ε)}^{n} < a_{n} < {(r + ε)}^{n}$ ･･････(4)

よって

$\sum_{n = N + 1}^{\infty} {(r - ε)}^{n} < \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} < \sum_{n = N + 1}^{\infty} {(r + ε)}^{n}$

$n - N = m$ とおくと， $n = N + 1$ のとき $m = 1$ ， $n \to \infty$ のとき $m \to \infty$

よって

$\sum_{m = 1}^{\infty} {(r - ε)}^{m} < \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} < \sum_{m = 1}^{\infty} {(r + ε)}^{m}$

$lim_{m \to \infty} (r - ε) \frac{1 - {(r - ε)}^{m}}{1 - (r - ε)} < \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} < lim_{m \to \infty} (r + ε) \frac{1 - {(r + ε)}^{m}}{1 - (r + ε)}$ ･･････(5)

となる．

$0 < r < 1$ のとき， $ε$ は任意なので， $0 < r - ε < r < r + ε < 1$ となる $ε$ をとることができる．

よって(5)より

$\frac{r - ε}{1 - (r - ε)} < \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} < \frac{r + ε}{1 - (r + ε)}$

となり

$\sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} = L$ ･･････(6)

となる定数 $L$ が存在する

したがって（3)(5)(6)より

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = K + L$

$1 < r$ のとき， $ε$ は任意なので $1 < r - ε < r$ となる $ε$ をとることができる

$r - ε > 1$ のとき $m \to \infty$ ならば， ${(r - ε)}^{m} \to \infty$ となるので

$lim_{m \to \infty} (r - ε) \frac{1 - {(r - ε)}^{m}}{1 - (r - ε)} = \infty$

となり

$\sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} = \infty$ ･･････(7)

となる．

したがって(3)(5)(7)より

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \infty$

となり発散する．

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最終更新日： 2022年5月29日