和記号Σの性質

和記号 $Σ$ には，数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ に対して．以下の性質がある．

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} + b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ ･･････(1)
$\sum_{k = 1}^{n} c a_{k} = c \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ ･･････(2)

■性質(1)の導出

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} + b_{k})$ $= (a_{1} + b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) + \dots + (a_{n} + b_{n})$

$= (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})$ $+ (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n})$

$= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$

$\sum_{k = 1}^{n} c a_{k}$ $= (c a_{1} + c a_{2} + \dots + c a_{n})$

$= c (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})$

$= c \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$

$\sum_{k = 1}^{10} (2 k - 1)$

性質(1)を使う

$= \sum_{k = 1}^{10} 2 k + \sum_{k = 1}^{10} (- 1)$

性質(2)を使う

$= 2 \sum_{k = 1}^{10} k - 1 \sum_{k = 1}^{10} 1$

$= 2 \frac{10 (10 + 1)}{2} - 1 \cdot 10$

$= 110 - 10$

$= 100$

最終更新日：2026年3月13日