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和記号Σの性質

和記号 ${\displaystyle \Sigma }$ には，数列 $\left\{a_n\right\}$ ， $\left\{b_n\right\}$に対して． 以下の性質がある．

• ${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{k=1}^n(a_k+b_k)={\displaystyle \sum }_{k=1}^n{a}_k+{\displaystyle \sum }_{k=1}^n{b}_k}$　･･････(1)
• ${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c{a}_k}=c{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}}$　･･････(2)

■性質(1)の導出

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{k=1}^n(a_k+b_k)}$${\displaystyle =(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\cdots +(a_n+b_n)}$

${\displaystyle =(a_1+a_2+\cdots +a_n)}$${\displaystyle +(b_1+b_2+\cdots +b_n)}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum }_{k=1}^n{a}_k+{\displaystyle \sum }_{k=1}^n{b}_k}$

■性質(2)の導出

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c{a}_k}}$${\displaystyle =(c{a}_1+c{a}_2+\cdots +c{a}_n)}$

${\displaystyle =c(a_1+a_2+\cdots +a_n)}$

${\displaystyle =c{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}}$

■和記号 ${\displaystyle \Sigma }$の性質を使っ具体例

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^{10}\left(2k-1\right)}}$

性質(1)を使う

${\displaystyle {\displaystyle }={\displaystyle \sum _{k=1}^{10}2k}+{\displaystyle \sum _{k=1}^{10}\left(-1\right)}}$

性質(2)を使う

${\displaystyle =2{\displaystyle \sum _{k=1}^{10}k}-1{\displaystyle \sum _{k=1}^{10}1}}$

$\sum _{k=1}^{n}k$ の計算式を使う

${\displaystyle =2\frac{10\left(10+1\right)}{2}-1\cdot 10}$

${\displaystyle =110-10}$

${\displaystyle =100}$

 

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最終更新日： 2023年12月14日

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