$\sum_{k = 1}^{n} k$ の計算式

数列 $1, 2, 3, \dots, n$ の和（和記号Σを参照）

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

■公式の導出

数列 $1, 2, 3, \dots, n$ は，初項1，公差1の等差数列である．等差数列の和の公式

$S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$

において， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = n$ を代入することにより

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

が得られる．

具体的に計算してみる．

$\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) + n$ 　･･････(1)

$\sum_{k = 1}^{n} k = n + (n - 1) + \dots + 3 + 2 + 1$ 　･･････(2)

(1)＋(2)より（右辺は1項目どうし、2項目どうし、3項目どうしのように足して、1つの項として書いていく）

$2 \sum_{k = 1}^{n} k$ $= (1 + n) + \{2 + (n - 1)\} + \{3 + (n - 2)\} + \dots + (n + 1)$

$2 \sum_{k = 1}^{n} k$ $= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1)$

と表される．右辺は $n + 1$ が $n$ 個足されているので

$2 \sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1)$

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

となる．

最終更新日： 2024年11月19日