$\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ の計算式

数列 $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots, n^{2}$ の和（和記号Σを参照）

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} \dots + n^{2}$ $= \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

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${(k + 1)}^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1$ に順に $k = 1, 2, 3, \dots, n$ 代入し，下のように縦にそろえて加えると

$\begin{array}{l} 2^{3} - 1^{3} = 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1 \\ 3^{3} - 2^{3} = 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 \\ 4^{3} - 3^{3} = 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 \\ \dots \dots \\ \underline{+) {(n + 1)}^{3} - n^{3} = 3 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 1} \\ {(n + 1)}^{3} - 1 = 3 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + 3 \sum_{k = 1}^{n} k + n \end{array}$

となる．左辺の合計が非常に簡単になることに注目すること． $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$ （ここを参照）を代入すると，

${(n + 1)}^{3} - 1$ $= 3 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + 3 \frac{n (n + 1)}{2} + n$

となり，この式を整理すると

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ $= \frac{1}{3} \{{(n + 1)}^{3} - 1 - 3 \frac{n (n + 1)}{2} - n\}$

$= \frac{1}{6} \{2 {(n + 1)}^{3} - 2 - 3 n (n + 1) - 2 n\}$

$= \frac{1}{6} \{2 n^{3} + 6 n^{2} + 6 n - 3 n (n + 1) - 2 n\}$

$= \frac{1}{6} n \{2 n^{2} + 3 n + 1\}$

$= \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

となり， $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ が求まります．

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最終更新日： 2025年2月21日

∑k=1nk2の計算式

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$\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ の計算式