内積計算の基本則

交換法則
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
定数倍
$(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{b}) = k (\vec{a} \cdot \vec{b})$
分配法則
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
ベクトルの大きさと内積の関係
${|\vec{a}|}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a}$

■導出計算

●交換法則

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | cos θ = | \vec{b} | | \vec{a} | cos θ$ $= \vec{b} \cdot \vec{a}$

●定数倍

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} (k \vec{a}) \cdot \vec{b} & = | k \vec{a} | | \vec{b} | cos θ \\ = k | \vec{a} | | \vec{b} | cos θ \\ = | \vec{a} | | k \vec{b} | cos θ \\ = \vec{a} \cdot (k \vec{b}) \end{array} \\ \begin{array}{l} (k \vec{a}) \cdot \vec{b} & = | k \vec{a} | | \vec{b} | cos θ \\ = k | \vec{a} | | \vec{b} | cos θ \\ = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) \end{array} \end{array}$

●分配法則

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$ $= |\vec{a} + \vec{b}| |\vec{c}| \cos θ$

$= (|\vec{a} + \vec{b}| \cos θ) |\vec{c}|$

$= (|\vec{a}| \cos α + |\vec{b}| \cos β) |\vec{c}|$

$= |\vec{a}| |\vec{c}| \cos α + |\vec{b}| |\vec{c}| \cos β$

$= \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

（図参照）

●ベクトルの大きさと内積の関係

内積の定義より

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos 0 = {|\vec{a}|}^{2}$

が得られる．

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>内積計算の基本

最終更新日： 2025年10月11日