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応用分野: 内積

内積の成分表示 

  • 平面ベクトルの場合

    a =( a 1 , a 2 ) , b =( b 1 , b 2 ) とすると,

      a b = a 1 b 1 + a 2 b 2

    となる.

  • 空間ベクトル場合

    a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) とすると

    a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

    となる

■導出計算

●平面ベクトル場合

a 基本ベクトル表示で表すと

a = a 1 e 1 + a 2 e 2

となる.同様に b 基本ベクトル表示で表すと

b = b 1 e 1 + b 2 e 2

となる.

内積計算の基本式を用いると

a b

=( a 1 e 1 + a 2 e 2 ) b

=( a 1 e 1 ) b +( a 2 e 2 ) b (結合法則より)

= a 1 ( e 1 b )+ a 2 ( e 2 b ) 定数倍の性質より)

= a 1 { e 1 ( b 1 e 1 + b 2 e 2 ) }+ a 2 { e 2 ( b 1 e 1 + b 2 e 2 ) }

= a 1 { e 1 ( b 1 e 1 )+ e 1 ( b 2 e 2 ) }+ a 2 { e 2 ( b 1 e 1 )+ e 2 ( b 2 e 2 ) } 分配法則より)

= a 1 { b 1 ( e 1 e 1 )+ b 2 ( e 1 e 2 ) }+ a 2 { b 1 ( e 2 e 1 )+ b 2 ( e 2 e 2 ) }

= a 1 b 1 + a 2 b 2 基本ベクトルの内積の計算より)

 

●空間ベクトルの場合

a 基本ベクトル表示で表すと

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3

となる.同様に b 基本ベクトル表示で表すと

b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3

となる.

内積計算の基本式を用いると

a b

=( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) b

=( a 1 e 1 ) b +( a 2 e 2 ) b +( a 3 e 3 ) b 結合法則より)

= a 1 ( e 1 b )+ a 2 ( e 2 b )+ a 3 ( e 3 b ) 定数倍の性質より)

= a 1 { e 1 ( b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) }+ a 2 { e 2 ( b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) }+

a 3 { e 3 ( b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) } (結合法則より)

= a 1 { b 1 ( e 1 e 1 )+ b 2 ( e 1 e 2 )+ b 3 ( e 1 e 3 ) }+ a 2 { b 1 ( e 2 e 1 )+ b 2 ( e 2 e 2 )+ b 3 ( e 2 e 3 ) }+

a 3 { b 1 ( e 3 e 1 )+ b 2 ( e 3 e 2 )+ b 3 ( e 3 e 3 ) }

= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 基本ベクトルの内積の計算より)

 

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最終更新日 2014年8月15日

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