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応用分野: 基本ベクトルにおける外積外積

外積の大きさ 

a b のなす角を θ とすると外積のベクトルの大きさ | a × b | は 

| a || b |sinθ

となり, a b を2辺とする平行四辺形の面積に相当する.

■証明

平行四辺形OADBの底辺OAの長さは | a |
高さBHは三角形OBHの三角比より | b |sinθ となる.

よって,平行四辺形の面積 S は,

S=底辺×高さ= | a || b |sinθ

となる.

a = a x , a y , a z b = b x , b y , b z とすると  

a × b = a y b z a z b y , a z b x a x b z , a x b y a y b x

である(ここを参照).

a b sinθ= a b 1 cos 2 θ

cos θ = a · b a b より

= a b 1 a · b a b 2

= a b 2 a · b 2

a b 2 a · b 2 a b の成分で表すことにする.

a b 2 a · b 2 = a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2 a x b x + a y b y + a z b z

= a x 2 b x 2 + a x 2 b y 2 + a x 2 b z 2 + a y 2 b x 2 + a y 2 b y 2 + a y 2 b z 2 + a z 2 b x 2 + a z 2 b y 2 + a z 2 b z 2

a x b x 2 + a y b y 2 + a z b z 2 +2 a x b x a y b y +2 a y b y a z b z +2 a z b z a x b x

= a x 2 b y 2 2 a x b x a y b y + a y 2 b x 2 + a x 2 b z 2 2 a z b z a x b x + a z 2 b x 2 + a y 2 b z 2 2 a y b y a z b z + a z 2 b y 2

= a x b y a y b x 2 + a x b z a z b x 2 + a y b z a z b y 2

= a y b z a z b y 2 + a z b x a x b z 2 + a x b y a y b x 2

よって

a b sinθ = a y b z a z b y 2 + a z b x a x b z 2 + a x b y a y b x 2

となる.すなわち, a × b 大きさ a b を2辺とする平行四辺形の面積の値になっている.

 

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最終更新日 2022年6月26日

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