演習問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{sinx+cosx+1}dx}$ を ${\displaystyle tan\frac{x}{2}=t}$ と置換して解きなさい．

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\sqrt{2x+3}}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=e^{-x}}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\mathrm{sin6}x}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\mathrm{cos2}x}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\tan 2x}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=tan\frac{1}{2x}}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=4^x}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left(log\left(log\left(log5x\right)\right)\right)}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\sqrt[5]{5x-7}}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y={sin}^{3}4x{cos}^{4}3x}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left(sinx\right)}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=\frac{sin6x}{cos2x}}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=\frac{e^{6}cos6x}{log3x}}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left|\frac{1-2x}{1+2x}\right|}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=log\frac{e^{3x}-3}{e^{3x}+1}}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=\frac{1}{n}log\frac{e^{-2nx}+e^{2nx}}{4}}$ 　　（${\displaystyle n}$ は自然数）

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{7}}}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\cos }^{-1}\sqrt{2x}}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\cos }^{-1}\frac{2}{x}}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\tan }^{-1}6x}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\tan }^{-1}\frac{13}{x}}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\log \left(x+\sqrt{x^2+4}\right)}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=7^{x^3-x}}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=3\cdot 5{}^{x^4-3x}}$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left(sin3x\right)}$

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=x^x}$ ( ${\displaystyle x>0}$ )

次の関数の第2次導関数を求めよ．

${\displaystyle y=e^{3x}cos6x}$

次の関数の第2次導関数を求めよ．

${\displaystyle y=\log \left(\sin 5x\right)}$

次の関数の第2次導関数を求めよ．

${\displaystyle y=e^{ax}cosbx}$

次の関数の${\displaystyle y^{″}}$ を${\displaystyle x}$ を用いずに，${\displaystyle y}$，${\displaystyle y^{\prime }}$を用いて表せ．

${\displaystyle y=e^{ax}\cos bx}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sqrt{3x-4y}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=log\left(x-y\right)}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sqrt{5x^2+7y^3}}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\log (7x^4+5y^3)}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sin 4x^2+\cos 5y^3}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=3\sin \left(4x^3-7y^4\right)}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=5\cos x{y}^2}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\sin }^{-1}3x^2{y}^3}$

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\cos }^{-1}\frac{y}{x}}$

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\sqrt{x^2-xy}}$

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={sin}^{-1}\frac{x}{y}}$

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=log\sqrt{x^2+y^2}}$ ならば ${\displaystyle {\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2=\frac{1}{e^{2z}}}$ である．