複素数問題　解法のヒント

• 複素数z は実数である    ${\displaystyle z=\overline{z}}$

• 複素数z は純虚数である   ${\displaystyle z=-\overline{z},z\ne 0}$

• 複素数のn 乗を求めよ極形式に変換 ド・モアブルの定理を利用してn 乗する

• 複素数${\displaystyle z_1=a+b\mathit{i}}$，${\displaystyle z_2=c+d\mathit{i}}$ が等しい

  実部と虚部が互いに等しい　${\displaystyle a=c,b=d}$，　絶対値と偏角が等しい ${\displaystyle \left|z_1\right|=\left|z_2\right|,arg{z}_1=arg{z}_2}$

• ${\displaystyle \left|z\right|=1}$   ${\displaystyle \frac{1}{z}=\overline{z}}$     ${\displaystyle z+\frac{1}{z}=z+\overline{z}=2cos\theta }$

• ${\displaystyle z+\frac{1}{z}=-1}$    ${\displaystyle z^2+z+1}$     z は${\displaystyle z^3=1}$  の実数でない解     ${\displaystyle \because z^3-1=\left(z-1\right)\left(z^2+z+1\right)=0}$

  ${\displaystyle z^3=1}$ の解を参照

• ${\displaystyle z+\frac{1}{z}=1}$    ${\displaystyle z^2-z+1}$     z は${\displaystyle z^3=-1}$  の実数でない解     ${\displaystyle \because z^3-1=\left(z+1\right)\left(z^2-z+1\right)=0}$

• 異なる複素数${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ が同一直線上にある

    ${\displaystyle \beta -\alpha =k\left(\gamma -\alpha \right)}$　　（k ：実数）　いいかえると，${\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{\gamma -\alpha }}$ が実数

　

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初版：2004年7月1日，最終更新日： 2007年7月14日