不等式の証明の解法のヒント

• （左辺）＞（右辺），（左辺）≧（右辺）の証明

   ⇒ （左辺）−（右辺）＞0，（左辺）−（右辺）≧0の証明へ変換する．
  

  【証明方法】

  ■因数分解タイプ

  （整式1）（整式2）…≧0あるいは＞0　　（ ${\displaystyle \because }$  整式 ${\displaystyle n}$ ≧0あるいは＞0）

  ■平方完成タイプ

  • ≧0の場合：平方の和の形に持っていく．( 整式 )²+( 整式 )²+････≧0

    このような式の変形を一般に平方完成という．

  • ＞0の場合：平方の和+正の定数．( 整式 )²+( 整式 )²+････+ ${\displaystyle C}$ ≧0

    ${\displaystyle C}$ は正の定数．

  ■特殊不等式の活用タイプ

  相加平均と相乗平均の関係，シュワルツの不等式，三角不等式

  ■増減表活用タイプ

  ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ＝ （左辺）−（右辺）とおき，増減表を用いて ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ≧0あるいは＞0を証明する．

  ■平均値の定理を利用するタイプ

  平均値の定理が利用できるように式を変形する．

•  √を含んだ不等式の証明

   ⇒  相加平均と相乗平均の関係が使えないか

•  自然数（正の整数）を含む不等式の証明

   ⇒ 数学的帰納法で証明できないか

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最終更新日： 2026年3月31日

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