線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(1-x^2\right)y^{\prime }=x^2-xy-1}$

■答

・ ${\displaystyle -1<x<1}$ の場合

${\displaystyle y=-\sqrt{1-x^2}{\sin }^{-1}x+C\sqrt{1-x^2}}$

・ ${\displaystyle x<-1}$ ， ${\displaystyle x>1}$ の場合

${\displaystyle y=-\sqrt{x^2-1}\log \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|}$ ${\displaystyle +C\sqrt{x^2-1}}$

・ ${\displaystyle x=1}$ の場合

${\displaystyle y=0}$

ただし，${\displaystyle C}$は任意定数

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

${\displaystyle \left(1-x^2\right)y^{\prime }=x^2-xy-1}$　･･････(1)

(1)式を変形すると

${\displaystyle \left(1-x^2\right)y^{\prime }+xy=-\left(1-x^2\right)}$

・ ${\displaystyle x\ne 1}$ の場合

この式の両辺を${\displaystyle \left(1-x^2\right)}$で割ると

${\displaystyle y^{\prime }+\frac{x}{1-x^2}y=-1}$　･･････(2)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

⇒ ${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x}{1-x^2}dx}}$ の積分方法はこちら

＊ ${\displaystyle -1<x<1}$ の場合

${\displaystyle y=\sqrt{1-x^2}\left(-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx+C\right)}$

⇒ ${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$ の積分法方はこちら

${\displaystyle =-\sqrt{1-x^2}{\sin }^{-1}x+C\sqrt{1-x^2}}$

＊ ${\displaystyle x<-1}$ ， ${\displaystyle x>1}$ の場合

${\displaystyle y=\sqrt{x^2-1}\left(-\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx+C\right)}$

⇒ ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx}$ の積分法方はこちら

${\displaystyle =-\sqrt{x^2-1}\log \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|}$ ${\displaystyle +C\sqrt{x^2-1}}$

・ ${\displaystyle x=1}$ の場合

${\displaystyle y=0}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>線形微分方程式に関する問題>> ${\displaystyle \left(1-x^2\right)y^{\prime }=x^2-xy-1}$

最終更新日： 2024年10月7日