問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

${\displaystyle \left(\frac{y}{x}+\log y\right)dx}$${\displaystyle +\left(\frac{x}{y}+\log x\right)dy}$${\displaystyle =0}$

■答

${\displaystyle y\log x+x\log y=c}$

■ヒント

完全微分方程式の解法

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の一般解は

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx+}{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)dy}=c}$  ･･････(1)

ここで${\displaystyle a}$と ${\displaystyle b}$は定数であり， ${\displaystyle c}$は任意定数である．

■解き方

${\displaystyle P=\frac{y}{x}+\log y}$, ${\displaystyle Q=\frac{x}{y}+\log x}$とすると

${\displaystyle P_y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$, ${\displaystyle Q_x=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}$  ${\displaystyle \therefore P_y=Q_x}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する．${\displaystyle a=1}$,${\displaystyle b=1}$として

${\displaystyle \underset{1}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}\left(\frac{y}{x}+\log y\right)dx}$${\displaystyle +\underset{1}{\overset{y}{{\displaystyle \int }}}\left(\frac{1}{y}+\log 1\right)dy}$${\displaystyle =c}$  (${\displaystyle \log 1=0}$)

${\displaystyle {\left[y\log x+x\log y\right]}_1^x+{\left[\log y\right]}_1^y=c}$

${\displaystyle y\log x+x\log y-\log y+\log y=c}$

${\displaystyle y\log x+x\log y=c}$

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最終更新日： 2023年6月15日

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