変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=xy}$

■答

${\displaystyle y=A{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}}$ 　　　（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=xy}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=xydx}$　･･････(1)

(i)${\displaystyle y\ne 0}$ のとき

(1)を${\displaystyle y}$ で割って

${\displaystyle \frac{1}{y}dy=xdx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}={\displaystyle \int xdx}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \log \left|y\right|=\frac{1}{2}{x}^2+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \log e=1}$ より，右辺を書き換えると

${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+C=\left(\frac{1}{2}{x}^2+C\right)\log e}$

さらに対数の性質より

${\displaystyle \left(\frac{1}{2}{x}^2+C\right)\log e=\log e^{\frac{1}{2}{x}^2+C}}$

よって

${\displaystyle \log \left|y\right|=\log e^{\frac{1}{2}{x}^2+C}}$

したがって

${\displaystyle \left|y\right|=e^{\frac{1}{2}{x}^2+C}}$

${\displaystyle y=\pm e^{\frac{1}{2}{x}^2+C}}$

指数法則より

${\displaystyle e^{\frac{1}{2}{x}^2+C}=e^C{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}}$

以上より， ${\displaystyle \pm e^C=A\ne 0}$ とおくと

${\displaystyle y=A{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}}$　･･････(2)

(ii)${\displaystyle y=0}$ のとき

(2)において，${\displaystyle A=0}$ に相当する．

　

(1)，(2)より

${\displaystyle y=A{e}^{\frac{1}{2}{x}^2}}$ 　　　（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年1月25日