変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{1+x}}$

■答

${\displaystyle y=A\left(1+x\right)-1}$ 　（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{1+x}}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=\frac{1+y}{1+x}dx}$　･･････(1)

(i)${\displaystyle 1+y\ne 0}$ のとき

(1)の両辺を${\displaystyle 1+y}$ で割って

${\displaystyle \frac{1}{1+y}dy=\frac{1}{1+x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{1+y}dy}={\displaystyle \int \frac{1}{1+x}dx}+C}$

${\displaystyle \log \left|1+y\right|=\log \left|1+x\right|+C}$

(ただし${\displaystyle C}$ は任意定数)

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \log \left|1+y\right|-\log \left|1+x\right|=C}$ ･･････(1)

対数の性質より(1)の左辺は

${\displaystyle \log \left|1+y\right|-\log \left|1+x\right|}$

${\displaystyle =\log \frac{\left|1+y\right|}{\left|1+x\right|}}$

${\displaystyle =\log \left|\frac{1+y}{1+x}\right|}$

${\displaystyle \log e=1}$ より，(1)式の右辺は

${\displaystyle C=C\log e}$

さらに対数の性質より

${\displaystyle C\log e=\log e^C}$

よって

${\displaystyle \log \left|\frac{1+y}{1+x}\right|=\log e^C}$

以上より

${\displaystyle \left|\frac{1+y}{1+x}\right|=e^C}$

${\displaystyle \frac{1+y}{1+x}=\pm e^C}$

${\displaystyle \pm e^C=A\ne 0}$ とおいて，整理すると

${\displaystyle \frac{1+y}{1+x}=A}$

${\displaystyle 1+y=A\left(1+x\right)}$

したがって

${\displaystyle y=A\left(1+x\right)-1}$　･･････(2)

(ii)${\displaystyle 1+y=0}$ のとき

(2)において，${\displaystyle A=0}$ のときに相当する．

　

(i)，(ii)より

${\displaystyle y=A\left(1+x\right)-1}$ 　（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年1月25日