変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2y+3}$

■答

${\displaystyle y=A{e}^{2x}-\frac{3}{2}}$ 　　　（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2y+3}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=\left(2y+3\right)dx}$　･･････(1)

(i)${\displaystyle 2y+3\ne 0}$ のとき

(1)を${\displaystyle 2y+3}$ で割って

${\displaystyle \frac{1}{2y+3}dy=dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle \int \frac{1}{2y+3}dy=\int dx+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|2y+3\right|=x+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$は任意定数)

両辺に2をかける

${\displaystyle \log \left|2y+3\right|=2x+2C}$

${\displaystyle \log e=1}$ なので，右辺を書き換えると

${\displaystyle 2x+2C=\left(2x+2C\right)\log e}$

対数の性質より

${\displaystyle \left(2x+2C\right)\log e=\log e^{2x+2C}}$

よって

${\displaystyle \log \left|2y+3\right|=\log e^{2x+2C}}$

したがって

${\displaystyle \left|2y+3\right|=e^{2x+2C}}$

指数法則より

${\displaystyle \left|2y+3\right|=e^{2C}{e}^{2x}}$

${\displaystyle 2y+3=\pm e^{2C}{e}^{2x}}$

${\displaystyle 2y=\pm e^{2C}{e}^{2x}-3}$

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{2}{e}^{2C}{e}^{2x}-\frac{3}{2}}$

${\displaystyle \pm \frac{1}{2}{e}^{2C}=A\ne 0}$  とおくと

${\displaystyle y=A{e}^{2x}-\frac{3}{2}}$

　

(i)，(ii)より

${\displaystyle y=A{e}^{2x}-\frac{3}{2}}$ 　　　（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年1月25日