問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{\sqrt{1-x^2}}}$      (${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)

■答

${\displaystyle {tan}^{-1}y={sin}^{-1}x+\frac{\pi }{6}}$  

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$

両辺を積分して

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+C}$

求めた微分方程式に初期条件(${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)を代入

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{\sqrt{1-x^2}}}$      (${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)

両辺に${\displaystyle dx}$ をかける

${\displaystyle \frac{1}{1+y^2}dy=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}$

両辺を積分すると

⇒左辺の積分方法はこちら

⇒右辺の積分方法はこちら

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{1+y^2}dy}={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}+C}$ （${\displaystyle C}$ は任意定数）

${\displaystyle {tan}^{-1}y={sin}^{-1}x+C}$ 　　　　･･･(1)

この式に初期条件(${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)を代入すると

${\displaystyle \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+C}$

${\displaystyle C=\frac{\pi }{6}}$

よって，(1)に代入すると

${\displaystyle {tan}^{-1}y={sin}^{-1}x+\frac{\pi }{6}}$

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最終更新日： 2023年11月20日

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