問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(x^2+xy\right)y^{\prime }=x^2+4xy+3y^2}$

■答

${\displaystyle y=A{x}^3-\frac{1}{2}x}$　(ただし${\displaystyle A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle \left(x^2+xy\right)y^{\prime }=x^2+4xy+3y^2}$

両辺を因数分解すると

${\displaystyle x\left(x+y\right)\frac{dy}{dx}=\left(x+y\right)\left(x+3y\right)}$

両辺を${\displaystyle x\left(x+y\right)}$で割ると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{x+3y}{x}}$

${\displaystyle =1+3\frac{y}{x}}$　　･･････(1)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$ とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$

これを${\displaystyle x}$で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$

以上を(1)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=1+3v}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=1+2v}$

この式を整理すると

${\displaystyle \frac{1}{1+2v}dv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{1+2v}dv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|1+2v\right|=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle \log \left|1+2v\right|=2\log \left|x\right|+2C}$

${\displaystyle \log \left|1+2v\right|-2\log \left|x\right|=2C}$

対数の性質より

${\displaystyle \log \left|\frac{1+2v}{x^2}\right|=2C}$

${\displaystyle \log e=1}$より

${\displaystyle \log \left|\frac{1+2v}{x^2}\right|}$ ${\displaystyle =2C\log e}$

${\displaystyle =\log e^{2C}}$

したがって

${\displaystyle \left|\frac{1+2v}{x^2}\right|=e^{2C}}$

${\displaystyle \frac{1+2v}{x^2}=\pm e^{2C}}$

${\displaystyle 1+2v=\pm e^{2C}{x}^2}$

${\displaystyle v}$ を元(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$)に戻すと

${\displaystyle 2\frac{y}{x}=\pm e^{2C}{x}^2-1}$

よって

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{2}{e}^{2C}{x}^3-\frac{1}{2}x}$

$\pm \frac{1}{2}{e}^{2C}=A\ne 0$ とおくと

${\displaystyle y=A{x}^3-\frac{1}{2}x}$　･･････(2)

(2)において，${\displaystyle A=0}$ とすると

${\displaystyle y=-\frac{1}{2}x}$　･･････(3)

となる．(3)を与式の微分方程式の左辺に代入すると

${\displaystyle \left\{x^2+x\cdot \left(-\frac{1}{2}x\right)\right\}{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^{\prime }}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}{x}^2}$　･･････(4)

(3)を与式の微分方程式の右辺に代入すると

${\displaystyle x^2+4x\cdot \left(-\frac{1}{2}x\right)+3\cdot {\left(-\frac{1}{2}x\right)}^2}$${\displaystyle =x^2-2x^2+\frac{3}{4}{x}^2}$${\displaystyle =-\frac{1}{4}{x}^2}$　･･････(5)

(4)，(5)より，(3)は微分方程式の解となる．

したがって，(2)は${\displaystyle A=0}$も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

${\displaystyle y=A{x}^3-\frac{1}{2}x}$　(ただし${\displaystyle A}$ は任意定数)

となる．

　

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最終更新日： 2023年6月19日

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