微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

$\frac{1}{D^{2} + 2 D + 8} sin 2 x$

$\frac{1}{8} (\cos 2 x + \sin 2 x) + \frac{i}{8} (\sin 2 x - \cos 2 x)$

$e^{i 2 x} = \cos 2 x + i \sin 2 x$

となる．よって

$\frac{1}{D^{2} + 2 D + 8} e^{i 2 x}$

の解の虚部が与式の解となる．この公式を参照

$\frac{1}{D^{2} + 2 D + 8} e^{i 2 x}$

この公式を利用する

$= \frac{1}{{(2 i)}^{2} + 2 \cdot 2 i + 8} e^{i 2 x}$

$= \frac{1}{4 + 4 i} e^{i 2 x}$

$= \frac{4 - 4 i}{(4 + 4 i) (4 - 4 i)} (cos 2 x + i sin 2 x)$

$= \frac{1 - i}{8} (cos 2 x + i sin 2 x)$

$= \frac{1}{8} (cos 2 x + sin 2 x) + i \frac{1}{8} (sin 2 x - cos 2 x)$

よって

$\frac{1}{D^{2} + 2 D + 8} \sin 2 x = \frac{1}{8} (\sin 2 x - \cos 2 x)$

最終更新日： 2023年6月29日