問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

変数分離形微分方程式に関する問題

${\displaystyle \int \left(-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx}$  

この式を変形すると

${\displaystyle x=\sqrt{2}\sin \theta }$ ${\displaystyle \left(-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\right)}$  ･･････(2)とおき置換積分をする，両辺を微分すると

${\displaystyle dx=\sqrt{2}\cos \theta d\theta }$  

となる．

よって(1)式は

${\displaystyle -{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-x^2}}dx}}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\sin \theta \right)}^2}}d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{2-2{\sin }^2\theta }}d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{2\left(1-{\sin }^2\theta \right)}}d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{2}\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{2}\cos \theta }d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int d\theta }}$

${\displaystyle =-\theta }$

(2)式を${\displaystyle \theta }$ についての式に変形すると（詳しくはこちら）

${\displaystyle \theta ={\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}}$  

となる．よって

${\displaystyle \int \left(-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx=-{\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}}$  

 

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>変数分離形微分方程式に関する問題>>${\displaystyle \left({\tan }^{-1}y\right)y^{\prime }=\frac{\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}}$

最終更新日： 2022年5月4日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)