微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \sqrt[4]{3 x^{2} - 2 x + 1}$ $y = \sqrt[4]{3 x^{2} - 2 x + 1}$

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■答

$y^{'} = \frac{3 x - 1}{2 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$ $y^{'} = \frac{3 x - 1}{2 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$

■ヒント

合成関数の微分より

${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

の公式を用いる．

■解説

$y = \sqrt[4]{3 x^{2} - 2 x + 1}$ $y = \sqrt[4]{3 x^{2} - 2 x + 1}$

(計算しやすいよう，式を指数を用いた形に変形する． $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ ⇒ここを参照)

$= {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{\frac{1}{4}}$ $= {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{\frac{1}{4}}$

$y^{'} = \frac{1}{4} {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{- \frac{3}{4}} {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{'}$ $y^{'} = \frac{1}{4} {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{- \frac{3}{4}} {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{'}$

$= \frac{1}{4} {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{- \frac{3}{4}} (6 x - 2)$ $= \frac{1}{4} {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{- \frac{3}{4}} (6 x - 2)$

$= \frac{2 (3 x - 1)}{4 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$ $= \frac{2 (3 x - 1)}{4 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$ （ $a^{- r} = \frac{1}{a^{r}}$ $a^{- r} = \frac{1}{a^{r}}$ ⇒ここを参照）

$= \frac{3 x - 1}{2 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$ $= \frac{3 x - 1}{2 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$

●別解

$y = \sqrt[4]{3 x^{2} - 2 x + 1}$ $y = \sqrt[4]{3 x^{2} - 2 x + 1}$

を

$y = \sqrt[4]{u} = u^{\frac{1}{4}}$ $y = \sqrt[4]{u} = u^{\frac{1}{4}}$ ， $u = 3 x^{2} - 2 x + 1$ $u = 3 x^{2} - 2 x + 1$

とおく．

$\frac{d y}{d u} = \frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4} u^{- \frac{3}{4}}$ $\frac{d y}{d u} = \frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4} u^{- \frac{3}{4}}$

$\frac{d u}{d x} = {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{'} = 6 x - 2$ $\frac{d u}{d x} = {(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{'} = 6 x - 2$

合成関数の微分の公式 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ を適用する．

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $= \frac{1}{4} u^{- \frac{3}{4}} \cdot (6 x - 2)$ $= \frac{1}{4} u^{- \frac{3}{4}} \cdot (6 x - 2)$ $= \frac{2 (3 x - 1)}{4 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$ $= \frac{2 (3 x - 1)}{4 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$

( $u = 3 x^{2} - 2 x + 1$ $u = 3 x^{2} - 2 x + 1$ と置き換えていたのを元に戻す)

$= \frac{3 x - 1}{2 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$ $= \frac{3 x - 1}{2 \sqrt[4]{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}}$

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最終更新日： 2025年2月20日

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