微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \sqrt{2 x + 3}$ $y = \sqrt{2 x + 3}$

$y^{'} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}$

$f^{'} (x) = {(x^{a})}^{'} = a x^{a - 1}$

　　( $a$ は実数)

の公式を用いる．

$y = \sqrt{2 x + 3}$

（計算しやすいよう， $\sqrt{2 x + 3}$ の累乗根を指数を用いた形に変換）

$= {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

（ $\sqrt{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ は指数が有理数の場合を参照)

次に

$y = \sqrt{u}$ ， $u = 2 x + 3$

と置き，合成関数の微分をする．

$\frac{d y}{d u} = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{u}}$

$\frac{d u}{d x} = {\frac{d}{d x} (2 x + 3)}^{} = 2$

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ より

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 2$ $= \frac{1}{\sqrt{u}}$ $= \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}$

$y = \sqrt{2 x + 3}$ を $y = f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = 2 x + 3$ と考えると， $y = f (g (x))$ となる合成関数になる．

合成関数の導関数 $y^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ より

$y^{'} = {\frac{1}{2} (2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ $= \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}$

最終更新日： 2025年2月20日