微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = log (2 x^{2} - 3 x + 2)$ $y = log (2 x^{2} - 3 x + 2)$

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■答

$y^{'} = \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 2}$ $y^{'} = \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 2}$

■ヒント

合成関数の導関数

${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

の式を用いる．

■解説

$y = log (2 x^{2} - 3 x + 2)$ $y = log (2 x^{2} - 3 x + 2)$

$y^{'} = \frac{1}{2 x^{2} - 3 x + 2} {(2 x^{2} - 3 x + 2)}^{'}$ $y^{'} = \frac{1}{2 x^{2} - 3 x + 2} {(2 x^{2} - 3 x + 2)}^{'}$

$= \frac{1}{2 x^{2} - 3 x + 2} (4 x - 3)$ $= \frac{1}{2 x^{2} - 3 x + 2} (4 x - 3)$

（ ${log x}^{'} = \frac{1}{x}$ ${log x}^{'} = \frac{1}{x}$ を使っている)

$= \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 2}$ $= \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 2}$

合成関数の導関数において

$y = f (u) = \log u$ $y = f (u) = \log u$ ， $u = g (x) = 2 x^{2} - 3 x + 2$ $u = g (x) = 2 x^{2} - 3 x + 2$

と考えて

${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

の式を適用している．

● $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ を適用する場合

$\frac{d y}{d u} = \frac{d}{d u} \log u = \frac{1}{u}$ $\frac{d y}{d u} = \frac{d}{d u} \log u = \frac{1}{u}$

$\frac{d x}{d u} = \frac{d}{d u} (2 x^{2} - 3 x + 2)$ $\frac{d x}{d u} = \frac{d}{d u} (2 x^{2} - 3 x + 2)$ $= 4 x - 3$ $= 4 x - 3$

よって

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{u} \cdot (4 x - 3) =$ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{u} \cdot (4 x - 3) =$ $\frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 2}$ $\frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 2}$

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最終更新日： 2025年2月20日

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