問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

${\displaystyle f\left(x\right)={log}_{2}x}$とする．${\displaystyle f^{\prime }\left(5\right)}$を微分係数の定義式を用いて求めよ．

微分係数の定義式： ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}$

■答

${\displaystyle f^{\prime }\left(5\right)=\frac{1}{5\log 2}}$

■ヒント

${\displaystyle e}$ の定義を用いる．

■解説

${\displaystyle f^{\prime }\left(5\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(5+h\right)-f\left(5\right)}{h}}$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{log}_2\left(5+h\right)-{log}_{2}5}{h}}$ ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left\{{log}_2\left(5+h\right)-{log}_{2}5\right\}}$

対数の性質を用いると

${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}{log}_2\left(1+\frac{h}{5}\right)}$ ${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{5}·\frac{5}{h}{log}_2\left(1+\frac{h}{5}\right)}$

${\displaystyle \frac{h}{5}=t}$と置く． ${\displaystyle h\to 0}$ のとき ${\displaystyle t\to 0}$ よって

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{5}·\frac{1}{t}{log}_2\left(1+t\right)}$

${\displaystyle e}$ の定義を用いると

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{5}{log}_2{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$

${\displaystyle t}$ の変化が関係するところは，対数の真数部分だけである．よって

${\displaystyle =\frac{1}{5}{log}_2\left(\underset{t\to 0}{lim}{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{5}{log}_{2}e}$

底の変換公式を用いて底を2から ${\displaystyle e}$に変換すると

${\displaystyle =\frac{1}{5}·\frac{loge}{log2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{5}·\frac{1}{log2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{5log2}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日

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