問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=x^x}$ ( ${\displaystyle x>0}$ )

■解説動画

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■答

${\displaystyle y^{\prime }=x^x\left(\log x+1\right)}$  

■ヒント

指数関数の底を ${\displaystyle e}$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

${\displaystyle {\left(a^x\right)}^{\prime }={\left(e^{\log a^x}\right)}^{\prime }=e^{x\log a}}$

の式を用いる．

そして，合成関数の微分の公式を利用して解く．

あるいは，対数微分法を用いる方法もある．

■解説

${\displaystyle y=x^x=e^{\log x^x}}$ ${\displaystyle =e^{x\log x}}$

指数関数の底の変換の仕方を参照

${\displaystyle u=x\log x}$ とおく.

${\displaystyle y=e^u}$

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{d}{du}{e}^u=e^u}$

${\displaystyle \frac{dx}{du}=\frac{d}{du}\left(x\log x\right)}$ ${\displaystyle =1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}}$ ${\displaystyle =\log x+1}$ 関数の積の微分を参照

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =e^u\left(\log x+1\right)}$

${\displaystyle =e^{x\log x}\left(\log x+1\right)}$

${\displaystyle =x^x\left(\log x+1\right)}$

（ ${\displaystyle \because e^{x\log x}=e^{\log x^x}=x^x}$ ）

●別解

対数微分法を用いる．

${\displaystyle y=x^x}$

の両辺の自然対数をとる．

${\displaystyle \log y=\log x^x}$

${\displaystyle \log y=x\log x}$

両辺を ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\log y=\frac{d}{dx}x\log x}$

${\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y\left(\log x+1\right)}$ ${\displaystyle =x^x\left(\log x+1\right)}$

【備考】

${\displaystyle z=\log y}$

とおく．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\log y\right)=\frac{dz}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle z}$ を

${\displaystyle z=\log y}$ ， ${\displaystyle y=x^x}$

の合成関数と考えている．

　

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最終更新日： 2025年2月21日

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