微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = x^{x}$ 　 ( $x > 0$ )

$y^{'} = x^{x} (\log x + 1)$

指数関数の底を $e$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

{(a^{x})}^{'} = {(e^{\log a^{x}})}^{'} = e^{x \log a}

の式を用いる．

そして，合成関数の微分の公式を利用して解く．

あるいは，対数微分法を用いる方法もある．

$y = x^{x} = e^{\log x^{x}}$ $= e^{x \log x}$

$u = x \log x$ とおく.

$y = e^{u}$

$\frac{d y}{d u} = \frac{d}{d u} e^{u} = e^{u}$

$\frac{d x}{d u} = \frac{d}{d u} (x \log x)$ $= 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}$ $= \log x + 1$ 　関数の積の微分を参照

$y^{'} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$= e^{u} (\log x + 1)$

$= e^{x \log x} (\log x + 1)$

$= x^{x} (\log x + 1)$

（ $∵ e^{x \log x} = e^{\log x^{x}} = x^{x}$ ）

$y = x^{x}$

の両辺の自然対数をとる．

$\log y = \log x^{x}$

$\log y = x \log x$

両辺を $x$ で微分する．

$\frac{d}{d x} \log y = \frac{d}{d x} x \log x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{d y}{d x} = y (\log x + 1)$ $= x^{x} (\log x + 1)$

$z = \log y$

とおく．

$\frac{d}{d x} (\log y) = \frac{d z}{d x}$ $= \frac{d z}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}$ $= \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}$

$z$ を

$z = \log y$ ， $y = x^{x}$

の合成関数と考えている．

最終更新日： 2024年7月18日