問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\cos }^{-1}\frac{2}{x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}}$

■ヒント

${\displaystyle {\cos }^{-1}x}$の微分と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle u=\frac{2}{x}}$とおくと ${\displaystyle y={\cos }^{-1}u}$

${\displaystyle \frac{dy}{du}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}}$

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{2}{x}}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}2x^{-1}}$ ${\displaystyle =2\left(-x^{-2}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{2}{x^2}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}·\left(-\frac{2}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{2}{x}\right)}^2}}·\left(-\frac{2}{x^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}}$

●別解

逆関数の微分の公式 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$を用いる．

${\displaystyle y={\cos }^{-1}\frac{2}{x}}$ 　･･････(1)

(1)を${\displaystyle \cos }$ を使って表すと

${\displaystyle \cos y=\frac{2}{x}}$ 　ここを参照 　 ･･････(2)

となる．(2)を $x$ について解く．

${\displaystyle x=\frac{2}{\cos y}}$ 　･･････(3)

となる．(3)を $x$ に関して微分する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2\left(-\frac{-\sin y}{{\cos }^{2}y}\right)}$ 　商の微分， ${\displaystyle \cos }$ の微分を参照

${\displaystyle =\frac{2\sin y}{{\cos }^{2}y}}$

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}{{\cos }^{2}y}}$　･･････(4)

逆関数の微分の公式を適用する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$　･･････(5)

(5)を(4)に代入する．

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{2\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}{{\cos }^{2}y}}}$

${\displaystyle =\frac{{\cos }^{2}y}{2\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}}$ 　･･････(6)

(6)に(2)代入する．

${\displaystyle =\frac{{\left(\frac{2}{x}\right)}^2}{2\sqrt{1-{\left(\frac{2}{x}\right)}^2}}}$

${\displaystyle =\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年10月30日

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