微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \log (x + \sqrt{x^{2} + 4})$

$y^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

$u = x + \sqrt{x^{2} + 4}$ とおくと $y = \log u$

$\frac{d y}{d u} = \frac{d}{d u} \log u = \frac{1}{u}$

$\frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x} (x + \sqrt{x^{2} + 4})$ $= \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} + 4}$

$\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} + 4}$ の計算．合成関数の微分を適用

$z = \sqrt{x^{2} + 4}$ ， $t = x^{2} + 4$ とおく．

$z = \sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$ 式変形はここを参照

$\frac{d z}{d t} = \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{t}}$ べき関数の微分を参照

$\frac{d t}{d x} = 2 x$

$\frac{d z}{d t} = \frac{d z}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}$ $= \frac{1}{2 \sqrt{t}} \cdot 2 x$ $= \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

$y^{'} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$= \frac{1}{u} (1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})$

$= \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 4}} (1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})$

$= \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

$= \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年2月20日