微分の計算問題

■問題

次の関数の第2次導関数を求めよ．

${\displaystyle y=7\cos 5x^2}$

■ヒント

２回微分する．

${\displaystyle y^{\prime }}$のときは，${\displaystyle \cos x}$の微分の公式と合成関数の微分の公式を使う．

${\displaystyle y^{″}}$のときは，${\displaystyle \sin x}$の微分の公式と積の微分の公式を使う．

■答

${\displaystyle y=7\cos 5x^2}$

${\displaystyle u=5x^2}$とおく．

${\displaystyle y=7\cos u}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =7\cdot \left(-\sin u\right)\cdot 10x}$

${\displaystyle =-70x\sin 5x^2}$

${\displaystyle y^{″}=-70\sin 5x^2+\left(-70x\cos 5x^2\cdot 10x\right)}$

${\displaystyle =-70\sin 5x^2-700x^2\cos 5x^2}$

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最終更新日： 2022年5月5日