問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

極値の問題

■問題

関数 ${\displaystyle f(x)=2x^3-2a{x}^2-bx+a^2-10}$ が ${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ をとるとき， ${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle b}$ の値を求めよ．また、極大値を求めよ．

■答

${\displaystyle a=-6,b=30}$

${\displaystyle x=-5}$ のとき，極大値 ${\displaystyle f(-5)=226}$

■ヒント

${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ をとるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(1\right)=0}$ ， ${\displaystyle f(1)=10}$

が成り立つ．

■解説

${\displaystyle f(x)=2x^3-2a{x}^2-bx+a^2-10}$ から

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-4ax-b}$

${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ をとるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(1\right)=0}$ より

${\displaystyle f^{\prime }\left(1\right)=6-4a-b=0}$   ･･････(1)

${\displaystyle f(1)=10}$ より

${\displaystyle f(1)=a^2-2a-b-8=10}$   ･･････(2)

(1)と(2)からなる連立方程式を解く

(1)より

${\displaystyle b=-4a+6}$ ･･････(3)

(3)を(2)に代入する．

${\displaystyle a^2-2a-\left(-4a+6\right)-8=10}$

${\displaystyle a^2+2a-24=0}$

${\displaystyle \left(a+6\right)\left(a-4\right)=0}$

${\displaystyle a=-6,4}$

$a=-6$ を(3)に代入する

${\displaystyle b=-4\left(-6\right)+6=30}$

$a=4$ を(3)に代入する．

${\displaystyle b=-4\cdot 4+6=-10}$

よって

${\displaystyle (a,b)=(-6,30),(4,-10)}$

${\displaystyle a=-6,b=30}$ のとき

${\displaystyle f(x)=2x^3+12x^2-30x+26}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2+24x-30}$

${\displaystyle =6(x^2+4x-5)}$

${\displaystyle =6(x+5)(x-1)}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ とすると， ${\displaystyle x=-5,1}$

となるため，増減表を次のようになる．

よって， ${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ をとり条件を満たす．

また， ${\displaystyle x=-5}$ のとき，極大値は

${\displaystyle f(-5)}$ ${\displaystyle =2\cdot {(-5)}^3+12\cdot 5^2-30\cdot (-5)+26}$ ${\displaystyle =226}$

となる．

${\displaystyle a=4,b=-10}$ のとき

${\displaystyle f(x)=2x^3-8x^2+10x+6}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-16x+10}$

${\displaystyle =2(3x^2-8x+5)}$

${\displaystyle =2(x-1)(3x-5)}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ とすると， ${\displaystyle x=1,\frac{5}{3}}$

となるため，増減表を次のようになる．

${\displaystyle x=1}$ は極大値となるため， ${\displaystyle x=1}$ で極小値 ${\displaystyle 10}$ の条件を満たさない．

以上より， ${\displaystyle a=-6,b=30}$ となる．

　

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最終更新日： 2025年11月28日

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