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媒介変数表示における導関数

■問題

媒介変数(パラメータ)表示された関数 ${\displaystyle x=\sqrt{t-1}-2}$ ， ${\displaystyle y=t^3-5}$ について導関数 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を $t$ の式で表し，点 ${\displaystyle \text{P}\left(-1,3\right)}$ における接線方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=6t^2\sqrt{t-1}}$

接線の方程式：${\displaystyle y=24x+27}$

■解説

媒介変数表示における導関数り

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$　･･････(1)

の式を用いる．

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}{\left(t-1\right)}^{-\frac{1}{2}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{t-1}}}$　･･････(2)

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=3t^2}$　･･････(3)

${\displaystyle f\prime (x)=0}$ とすると，${\displaystyle x=\frac{2}{3},2}$

(1)に(2)，(3)を代入する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{\frac{1}{2\sqrt{t-1}}}}$${\displaystyle =6t^2\sqrt{t-1}}$　･･････(4)

点 ${\displaystyle \text{P}\left(-1,3\right)}$ における接線方程式を求める．

点 ${\displaystyle \text{P}\left(-1,3\right)}$に対応する $t$ の値は， ${\displaystyle x=\sqrt{t-1}-2}$の式に${\displaystyle x=1}$ を代入して

${\displaystyle -1=\sqrt{t-1}-2}$

${\displaystyle \sqrt{t-1}=1}$

${\displaystyle t-1=1}$

${\displaystyle t=2}$　･･････(5)

が求まる．(4)に(1)を代入する．

${\displaystyle t=2\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =6\cdot 2^2\sqrt{2-1}}$${\displaystyle =24}$

よって，接線の方程式は

${\displaystyle y-3=24\left(x+1\right)}$

${\displaystyle y=24x+27}$　･･････(6)

となる．

備考

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ の形の式を求めてみる.

${\displaystyle x=\sqrt{t-1}-2}$　･･････(7)

${\displaystyle y=t^3-5}$　･･････(8)

(7)，(8)より，$t$を消去する．

(7)より

${\displaystyle x+2=\sqrt{t-1}}$

${\displaystyle {\left(x+2\right)}^2=t-1}$

${\displaystyle t={\left(x+2\right)}^2+1}$　･･････(9)

が得られる．(9)を(8)に代入すると関数の式が求まる．

${\displaystyle y={\left\{{\left(x+2\right)}^2+1\right\}}^3-5}$　･･････(10)

　

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最終更新日： 2024年5月24日

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