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媒介変数表示における導関数

■問題

媒介変数(パラメータ)表示された関数 x=t12y=t35 について導関数 dydxt の式で表し,点 P1,3 における接線方程式を求めよ.

■解説動画

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■答

dydx=6t2t1

接線の方程式: y=24x+27

■解説

媒介変数表示における導関数

dydx=dydtdxdt ・・・・・・(1)

の式を用いる.

dxdt=12t112 =12t1 ・・・・・・(2)

dydt=3t2 ・・・・・・(3)

f(x)=0 とすると, x=23 ,2

(1)に(2),(3)を代入する.

dydx=3t212t1 =6t2t1 ・・・・・・(4)

P1,3 における接線方程式を求める.

P1,3 に対応する t の値は, x=t12 の式に x=1 を代入して

1=t12

t1=1

t1=1

t=2 ・・・・・・(5)

が求まる.(4)に(5)を代入する.

dydx =62221 =24

よって,接線の方程式は

y3=24x+1

y=24x+27 ・・・・・・(6)

となる.

備考

y=fx の形の式を求めてみる.

x=t12 ・・・・・・(7)

y=t35 ・・・・・・(8)

(7),(8)より, t を消去する.

(7)より

x+2=t1

x+22=t1

t=x+22+1 ・・・・・・(9)

が得られる.(9)を(8)に代入すると関数の式が求まる.

y=x+22+135 ・・・・・・(10)

 

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最終更新日: 2025年2月21日

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