媒介変数表示における導関数
■問題
媒介変数(パラメータ)表示された関数
x=√t−1−2
,
y=t3−5
について導関数
dydx
を
t
の式で表し,点
P(−1,3)
における接線方程式を求めよ.
■解説動画
■答
dydx=6t2√t−1
接線の方程式:
y=24x+27
■解説
媒介変数表示における導関数り
dydx=dydtdxdt
・・・・・・(1)
の式を用いる.
dxdt=12(t−1)−12
=12√t−1
・・・・・・(2)
dydt=3t2
・・・・・・(3)
f'(x)=0
とすると,
x=23 ,2
(1)に(2),(3)を代入する.
dydx=3t212√t−1
=6t2√t−1
・・・・・・(4)
点
P(−1,3)
における接線方程式を求める.
点
P(−1,3)
に対応する
t
の値は,
x=√t−1−2
の式に
x=1
を代入して
−1=√t−1−2
√t−1=1
t−1=1
t=2
・・・・・・(5)
が求まる.(4)に(5)を代入する.
dydx
=6⋅22√2−1
=24
よって,接線の方程式は
y−3=24(x+1)
y=24x+27
・・・・・・(6)
となる.
備考
y=f(x)
の形の式を求めてみる.
x=√t−1−2
・・・・・・(7)
y=t3−5
・・・・・・(8)
(7),(8)より,
t
を消去する.
(7)より
x+2=√t−1
(x+2)2=t−1
t=(x+2)2+1
・・・・・・(9)
が得られる.(9)を(8)に代入すると関数の式が求まる.
y={(x+2)2+1}3−5
・・・・・・(10)
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最終更新日:
2025年2月21日