問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

極値の問題

■問題

関数${\displaystyle f(x)=x^3+ax+bx-3}$ が${\displaystyle x=-1}$ で極大， ${\displaystyle x=3}$ で極小となるとき， ${\displaystyle a}$ と${\displaystyle b}$ の値を求めよ．また、極値を求めよ．

■答

${\displaystyle a=-3}$ ， ${\displaystyle b=-9}$

${\displaystyle x=-1}$ のとき，極大値${\displaystyle f(-1)=2}$

${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値${\displaystyle f(3)=-30}$

■ヒント

${\displaystyle x=-1}$ ，${\displaystyle x=3}$に極値があるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(-1\right)=0}$ ，${\displaystyle f^{\prime }\left(3\right)=0}$

が成り立つ．

■解説

${\displaystyle f(x)=x^3+ax+bx-3}$から

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+2x+b}$

${\displaystyle x=-1}$ で極大値，${\displaystyle x=3}$ で極小値をとるため

${\displaystyle f^{\prime }\left(-1\right)=0}$ ，${\displaystyle f^{\prime }\left(3\right)=0}$

が成り立つ．

${\displaystyle f^{\prime }\left(-1\right)=-2a+b=0}$  ･･････(1)

${\displaystyle f^{\prime }\left(3\right)=6a+b=0}$  ･･････(2)

(1),(2)を解くと

${\displaystyle a=-3}$ ， ${\displaystyle b=-9}$

したがって

${\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x-3}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x-9}$

${\displaystyle =3(x^2-2x-3)}$

${\displaystyle =3(x+1)(x-3)}$

となるため，増減表を次のようになる．

よって，${\displaystyle x=-1}$ で極大， ${\displaystyle x=3}$ で極小となり条件を満たす．ゆえに，${\displaystyle a=-3}$ ， ${\displaystyle b=-9}$となる．

${\displaystyle x=-1}$ のとき，極大値は

${\displaystyle f(-1)}$ ${\displaystyle ={(-1)}^3-3{(-1)}^2-9(-1)-3}$ ${\displaystyle =2}$

である．${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値は

${\displaystyle f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot 3-3=-30}$

である．

　

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最終更新日： 2023年10月9日

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