問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

フーリエ変換の問題

■問題

偶関数

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{k}{L}& -\frac{L}{2}<x<\frac{L}{2}\\ 0& \left|\frac{L}{2}\right|\geqq x\end{array}\right.}$

のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_c\left(\omega \right)}$を求めよ．また，${\displaystyle \underset{L\to 0}{\lim }{F}_c\left(\omega \right)}$ を求めよ．

■解答

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\frac{k}{L\omega }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin \frac{L\omega }{2}}$，${\displaystyle \underset{L\to 0}{\lim }{F}_c\left(\omega \right)=\frac{k}{\sqrt{2\pi }}}$

■解き方

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{L}{2}}\frac{k}{L}\cos \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cdot \frac{k}{L}\cdot {\left[\frac{1}{\omega }\sin \omega x\right]}_0^{\frac{L}{2}}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cdot \frac{k}{L}\cdot \frac{1}{\omega }\sin \frac{L\omega }{2}}$

${\displaystyle =\frac{k}{L\omega }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin \frac{L\omega }{2}}$

${\displaystyle \underset{L\to 0}{\lim }{F}_c\left(\omega \right)=\underset{L\to 0}{\lim }\frac{k}{L\omega }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin \frac{L\omega }{2}}$

${\displaystyle =\underset{L\to 0}{\lim }\frac{k}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{\sin \frac{L\omega }{2}}{\frac{L\omega }{2}}}$

${\displaystyle =\frac{k}{\sqrt{2\pi }}}$

（∵ここを参照）

　

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最終更新日： 2023年7月7日

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