複素数の線対称移動

■問題

$α = 3 + i$ ， $β = 1 + 2 i$ とする．複素平面において，点 $β$ を原点と点 $α$ を通る直線に関して対称移動した点の複素数 $γ$ を求めよ．

■答

$γ = 2 - i$

■ヒント

■解説

原点と点 $α$ を通る直線と原点と点 $β$ を通る直線のなす角 $θ$ ，ただし， $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ ，を求め，点 $β$ を原点を中心に $- 2 θ$ 回転させた点が点 $γ$ になる．

$θ$ を求める．

$θ = \arg (\frac{β}{α})$

$= \arg (\frac{1 + 2 i}{3 + i})$

$= \arg (\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{(3 + i) (3 - i)})$

$= \arg (\frac{5 + 5 i}{10})$

$= \arg (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i)$

よって

$\tan θ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

$θ = \frac{π}{4}$

となる．

$γ = β (\cos (- 2 θ) + i \sin (- 2 θ))$

$= (1 + 2 i) (\cos (- \frac{π}{2}) + i \sin (- \frac{π}{2}))$

$= (1 + 2 i) (- i)$

$= - i + 2$

$= 2 - i$

●別解

定直線に関して対称（線対称）であることより

点 $β$ と点 $γ$ を結ぶ線分の中点が，原点と点 $α$ を通る直線上にある．
$\arg (\frac{\frac{β + γ}{2}}{α}) = 0$ ･･････(1)
点 $β$ と点 $γ$ を通る直線と，原点と点 $α$ を通る直線が垂直である．
$\arg (\frac{β - γ}{α}) = \frac{π}{2}$ ･･････(2)

である．

(1)より， $\frac{\frac{β + γ}{2}}{α}$ が実数になる． $γ = x + y i$ とおくと

$\frac{\frac{β + γ}{2}}{α} = \frac{\frac{(1 + 2 i) + (x + y i)}{2}}{3 + i}$

$= \frac{\{(1 + 2 i) + (x + y i)\} (3 - i)}{2 (3 + i) (3 - i)}$

$= \frac{\{(1 + x) + (2 + y) i\} (3 - i)}{2 (9 + 1)}$

$= \frac{\{3 (1 + x) + (2 + y)\} + \{- (1 + x) + 3 (2 + y)\} i}{20}$

$= \frac{3 x + y + 5 + \{- x + 3 y + 5\} i}{20}$

よって

$- x + 3 y + 5 = 0$ ･･････(3)

が得られる．

(2)より， $\frac{β - γ}{α}$ が純虚数になる．

$\frac{β - γ}{α} = \frac{(1 + 2 i) - (x + y i)}{3 + i}$

$= \frac{\{(1 + 2 i) - (x + y i)\} (3 - i)}{(3 + i) (3 - i)}$

$= \frac{\{(1 - x) + (2 - y) i\} (3 - i)}{9 + 1}$

$= \frac{\{3 (1 - x) + (2 - y)\} + \{- (1 - x) + 3 (2 - y)\} i}{9 + 1}$

$= \frac{- 3 x - y + 5 + (x - 3 y + 5) i}{10}$

よって

$- 3 x - y + 5 = 0$ ･･････(4)

が得られる．

(3)と(4)から成る連立方程式を解く．

(3)＋(4)×3より

$- 10 x + 20 = 0$

$x = 2$

これを(4)に代入する

$- 3 \cdot 2 - y + 5 = 0$

$y = - 1$

以上より

$γ = 2 - i$

となる．

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最終更新日：2025年12月11日