問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 2& -2& 1\\ 1& -1& 2& 1\\ 2& 6& -4& 2\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle 8}$

■計算

行列式の計算手順1を参考に行列式の次数を下げていく。

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 2& -2& 1\\ 1& -1& 2& 1\\ 2& 6& -4& 2\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 1\\ 3& 2& -2& 1\\ 2& 6& -4& 2\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-3)，3行+1行×(-2)，4行+1行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 1\\ 0& 5& -8& -2\\ 0& 8& -8& 0\\ 0& 3& -1& 1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}5& -8& -2\\ 8& -8& 0\\ 3& -1& 1\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1行目と3行目を入れ替える．符号が変わる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 8& -8& 0\\ 5& -8& -2\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1列目と3列目を入れ替える．符号が変わる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 0& -8& 8\\ -2& -8& 5\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行＋1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 0& -8& 8\\ 0& -10& 11\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cc}-8& 8\\ -10& 11\end{array}\right|}$

1行目の成分がともに-8の倍数であうので，定数倍の性質を用いて-8をくくりだす．

${\displaystyle =-\left(-8\right)\times \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -10& 11\end{array}\right|}$

${\displaystyle =8\times \left(11-10\right)}$

${\displaystyle =8}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日

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