問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x+1& 1& 1& x\\ 1& x+1& 1& x\\ 1& 1& x+1& x\\ 1& 1& 1& x+1\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle x^2\left(x^2+x+3\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x+1& 1& 1& x\\ 1& x+1& 1& x\\ 1& 1& x+1& x\\ 1& 1& 1& x+1\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と4行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x+1\\ 1& x+1& 1& x\\ 1& 1& x+1& x\\ x+1& 1& 1& x\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1) ，3行+ 1行×(-1)，4行+1行× ${\displaystyle \left\{-\left(x+1\right)\right\}}$ の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x+1\\ 0& x& 0& -1\\ 0& 0& x& -1\\ 0& -x& -x& -x^2-x-1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}x& 0& -1\\ 0& x& -1\\ -x& -x& -x^2-x-1\end{array}\right|}$

1列目,2列目の成分が${\displaystyle x}$の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて${\displaystyle x}$をくくりだす．

${\displaystyle =-x^2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ -1& -1& -x^2-x-1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行+1行の計算をする．

${\displaystyle =-x^2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& -1& -x^2-x-2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-x^2\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& -x^2-x-2\end{array}\right|}$

定数倍の性質を用いて2行目の成分から${\displaystyle -1}$ をくくりだす．

${\displaystyle =x^2\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& x^2+x+2\end{array}\right|}$

${\displaystyle =x^2\left(x^2+x+3\right)}$

 

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)