基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

$|\begin{matrix} x + 1 & x - 4 & x + 4 & x + 1 \\ x + 2 & x - 3 & x + 2 & x + 3 \\ x - 1 & x - 2 & x - 3 & x - 2 \\ x + 4 & x - 1 & x - 1 & x - 4 \end{matrix}|$

■答

$- 4 (32 x - 85)$

■計算

$|\begin{matrix} x + 1 & x - 4 & x + 4 & x + 1 \\ x + 2 & x - 3 & x + 2 & x + 3 \\ x - 1 & x - 2 & x - 3 & x - 2 \\ x + 4 & x - 1 & x - 1 & x - 4 \end{matrix}|$

行列式の計算則を用いて1行+2行×(-1)の計算をする．

$= | \begin{matrix} - 1 & - 1 & 2 & - 2 \\ x + 2 & x - 3 & x + 2 & x + 3 \\ x - 1 & x - 2 & x - 3 & x - 2 \\ x + 4 & x - 1 & x - 1 & x - 4 \end{matrix} |$

1行1列目の成分を1にするために，定数倍の性質を用いて1行目から−1をくくりだす．

$= - | \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 2 \\ x + 2 & x - 3 & x + 2 & x + 3 \\ x - 1 & x - 2 & x - 3 & x - 2 \\ x + 4 & x - 1 & x - 1 & x - 4 \end{matrix} |$

行列式の計算則を用いて2行+1行× $\{- (x + 2)\}$ ，3行+1行× $\{- (x - 1)\}$ ，4行+1行× $\{- (x + 4)\}$ の計算をする．

$= - | \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 2 \\ 0 & - 5 & 3 x + 6 & - x - 1 \\ 0 & - 1 & 3 x - 5 & - x \\ 0 & - 5 & 3 x + 7 & - x - 12 \end{matrix} |$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$= - | \begin{matrix} - 5 & 3 x + 6 & - x - 1 \\ - 1 & 3 x - 5 & - x \\ - 5 & 3 x + 7 & - x - 12 \end{matrix} |$

1列目,3列目から定数倍の性質を用いて−1をくくりだす．−1が２回くくりだされるので符号は変わらない．

$= - | \begin{matrix} 5 & 3 x + 6 & x + 1 \\ 1 & 3 x - 5 & x \\ 5 & 3 x + 7 & x + 12 \end{matrix} |$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて2行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$= | \begin{matrix} 1 & 3 x - 5 & x \\ 5 & 3 x + 6 & x + 1 \\ 5 & 3 x + 7 & x + 12 \end{matrix} |$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-5)の計算をする．

$= | \begin{matrix} 1 & 3 x - 5 & x \\ 0 & - 12 x + 31 & - 4 x + 1 \\ 0 & - 12 x + 32 & - 4 x + 12 \end{matrix} |$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$= | \begin{matrix} - 12 x + 31 & - 4 x + 1 \\ - 12 x + 32 & - 4 x + 12 \end{matrix} |$

行列式の計算則を用いて1行+2行×(-1)の計算をする．

$= | \begin{matrix} - 1 & - 11 \\ - 12 x + 32 & - 4 x + 12 \end{matrix} |$

2行目の成分が−4の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて−4をくくりだす．

$= - 4 | \begin{matrix} - 1 & - 11 \\ 3 x - 8 & x - 3 \end{matrix} |$

$= - 4 \{- (x - 3) + 11 (3 x - 8)\}$

$= - 4 (32 x - 85)$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日