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基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x& x+1& x+2& x+3\\ x+1& x+2& x+3& x\\ x+2& x+3& x& x+1\\ x+3& x& x+1& x+2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle 32\left(2x+3\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x& x+1& x+2& x+3\\ x+1& x+2& x+3& x\\ x+2& x+3& x& x+1\\ x+3& x& x+1& x+2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行，1行+4行の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}4x+6& 4x+6& 4x+6& 4x+6\\ x+1& x+2& x+3& x\\ x+2& x+3& x& x+1\\ x+3& x& x+1& x+2\end{array}\right|}$

1行目の成分がすべて${\displaystyle 4x+6}$ なので，定数倍の性質を用いて1行目から${\displaystyle 4x+6}$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(4x+6\right)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ x+1& x+2& x+3& x\\ x+2& x+3& x& x+1\\ x+3& x& x+1& x+2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行× ${\displaystyle \left\{-\left(x+1\right)\right\}}$ ，3行+1行×${\displaystyle \left\{-\left(x+2\right)\right\}}$ ，4行+1行×${\displaystyle \left\{-\left(x+3\right)\right\}}$ の計算をする．

${\displaystyle =\left(4x+6\right)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 1& -2& -1\\ 0& -3& -2& -1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left(4x+6\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& -2& -1\\ -3& -2& -1\end{array}\right|}$

2列目の成分が2の倍数なので，定数倍の性質を用いて2列から2をくくりだす．

${\displaystyle =2\left(4x+6\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& -1\\ -3& -1& -1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行+1行×3の計算をする．

${\displaystyle =2\left(4x+6\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& -2& 0\\ 0& 2& -4\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =2\left(4x+6\right)\left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ 2& -4\end{array}\right|}$

${\displaystyle =16\left(4x+6\right)}$

${\displaystyle =32\left(2x+3\right)}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日

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