問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

次の行列の固有値を求めよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)}$

 

■計算

${\displaystyle \left|A-\lambda E\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 2\\ 2& 1-\lambda & 2\\ 2& 2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}5-\lambda & 5-\lambda & 5-\lambda \\ 2& 1-\lambda & 2\\ 2& 2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

1行目の成分はすべて${\displaystyle \left(5-\lambda \right)}$ であるから，定数倍の性質を用いて${\displaystyle \left(5-\lambda \right)}$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(5-\lambda \right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1-\lambda & 2\\ 2& 2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-2)，3行+1行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =\left(5-\lambda \right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -1-\lambda & 0\\ 0& 0& -1-\lambda \end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left(5-\lambda \right)\left|\begin{array}{cc}-1-\lambda & 0\\ 0& -1-\lambda \end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left(5-\lambda \right){\left(-1-\lambda \right)}^2}$ ${\displaystyle =0}$となる．

よって，行列式の固有値は${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\lambda =5\\ \lambda =-1\end{array}\right.}$となる．

 

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)