問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

次の行列の固有値を求めよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1& -2& -2& -2\\ -2& 1& -2& -2\\ -2& -2& 1& -2\\ -2& -2& -2& 1\end{array}\right)}$

 

■計算

${\displaystyle \left|A-\lambda E\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1-\lambda & -2& -2& -2\\ -2& 1-\lambda & -2& -2\\ -2& -2& 1-\lambda & -2\\ -2& -2& -2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行，1行+4行の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}-5-\lambda & -5-\lambda & -5-\lambda & -5-\lambda \\ -2& 1-\lambda & -2& -2\\ -2& -2& 1-\lambda & -2\\ -2& -2& -2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

1行目の成分はすべて${\displaystyle -5-\lambda }$ であるから，定数倍の性質を用いて${\displaystyle -5-\lambda }$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(-5-\lambda \right)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ -2& 1-\lambda & -2& -2\\ -2& -2& 1-\lambda & -2\\ -2& -2& -2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行×2，4行+1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\left(5+\lambda \right)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 3-\lambda & 0& 0\\ 0& 0& 3-\lambda & 0\\ 0& 0& 0& 3-\lambda \end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left(5+\lambda \right)\left|\begin{array}{ccc}3-\lambda & 0& 0\\ 0& 3-\lambda & 0\\ 0& 0& 3-\lambda \end{array}\right|}$

定数倍の性質を用いて1行目を簡単にして，次数下げの計算で行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left(5+\lambda \right)\left(3-\lambda \right)\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & 0\\ 0& 3-\lambda \end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\left(5+\lambda \right){\left(3-\lambda \right)}^3}$ ${\displaystyle =0}$となる．

よって，行列式の固有値は${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\lambda =-5\\ \lambda =3\end{array}\right.}$となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日

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