基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{3}$

■計算

$c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + c_{3} (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = 0$ 　･･････(1)

とおくと．

${\begin{matrix} c_{1} + c {}_{2}+ 3 c_{3} = 0 \\ c_{1} + 2 c {}_{2}+ 2 c_{3} = 0 \\ c_{1} + 3 c {}_{2}+ c_{3} = 0 \end{matrix}$

となる連立方程式が得られる．これを行列で表すと

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

となる．

$|\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}|$ $= |\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 2 \end{matrix}|$ $= |\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{matrix}|$ $= 0$

であるから，この定理より，ベクトルの組

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \in R^{3}$

は1次従属である．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日