問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)}$，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)}$， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$

■計算

${\displaystyle c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)+c_3\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)=0}$とおくと，

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}{c}_1+{3c}_2+3c_3=0\\ {3c}_1+c_2+3c_3=0\\ {3c}_1+3c_2+c_3=0\end{array}\right.}$

となる．これを行列を用いて表すと

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$

となる．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 0& -8& -6\\ 0& -6& -8\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-8& -6\\ -6& -8\end{array}\right|}$${\displaystyle =64-36}$${\displaystyle =28}$${\displaystyle \ne 0}$

となる．よって，この定理より，ベクトルの組

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\end{array}\right)}$，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)}$， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 1\end{array}\right)\in R^3}$

は1次独立である．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日

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