問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 4& 2& 1\\ -1& -1& 2& 1\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle 4}$

■計算

サラスの規則を使わずに２次の行列式なるまで次数を下げて計算してみる．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}3& 4& 2& 1\\ -1& -1& 2& 1\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$

行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このとき符号が変わる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& 1\\ 3& 4& 2& 1\\ 2& 6& 4& 2\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$

3行目の成分が2の倍数になっている．よって，定数倍の性質を用いて行列式を簡単にする．

${\displaystyle =-2\left|\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& 1\\ 3& 4& 2& 1\\ 1& 3& 2& 1\\ 1& 3& 3& 2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2列+1列×(-1)，3列+1列×2，4列+1列の計算をする．

${\displaystyle =-2\left|\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 3& 1& 8& 4\\ 1& 2& 4& 2\\ 1& 2& 5& 3\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-2\times \left(-1\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 8& 4\\ 2& 4& 2\\ 2& 5& 3\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2列+3列×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ 2& 0& 2\\ 2& -1& 3\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3列+1列×(-4)の計算をする．

${\displaystyle =2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& -6\\ 2& -1& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =2\left|\begin{array}{cc}0& -6\\ -1& -5\end{array}\right|}$

${\displaystyle =2\times \left(0-6\right)}$

${\displaystyle =-12}$

 

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)