問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を因数分解した形で求めよ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& a& b^2-c^2\\ 1& b& a^2-c^2\\ 1& c& b^2-a^2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle \left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(2a+b+c\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& a& b^2-c^2\\ 1& b& a^2-c^2\\ 1& c& b^2-a^2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& a& b^2-c^2\\ 0& b-a& a^2-b^2\\ 0& c-a& c^2-a^2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}b-a& a^2-b^2\\ c-a& c^2-a^2\end{array}\right|}$

${\displaystyle c^2-a^2}$と${\displaystyle a^2-b^2}$をそれぞれ因数分解をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}b-a& \left(a-b\right)\left(a+b\right)\\ c-a& \left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-\left(a-b\right)& \left(a-b\right)\left(a+b\right)\\ c-a& \left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{array}\right|}$

1行目の成分には${\displaystyle a-b}$ の共通因数があり，2行目にの成分には${\displaystyle c-a}$の共通因数がある．定数倍の性質を使ってこれらの因数をくくりだす．

${\displaystyle =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{cc}-1& a+b\\ 1& c+a\end{array}\right|}$

2次の正方行列式の値を計算する，

${\displaystyle =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left\{-\left(c+a\right)-\left(a+b\right)\right\}}$

${\displaystyle =-\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(2a+b+c\right)}$

${\displaystyle =\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(2a+b+c\right)}$

 

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年7月10日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)